Россия
BISAC MAT034000 Mathematical Analysis
Работа посвящена сравнению апостериорных методов (основанных на предварительно вычисленных решениях) для оценки погрешности аппроксимации. Строгая апостериорная оценка погрешности для вычислительной гидродинамики в настоящее время практически невозможна из-за нелинейности и неоднородностей, которые могут возникать и перемещаться по полю потока. В этой ситуации можно рассмотреть несколько нестрогих (слабых) форм апостериорной оценки ошибки аппроксимации. Они либо не предоставляют оценку нормы ошибок в виде неравенств, либо предоставляют значения индекса эффективности меньше единицы. Наилучшее качество оценок обеспечивает экстраполяция Ричардсона, к сожалению, за счет чрезвычайно высокой вычислительной нагрузки. Особое внимание мы уделяем нестрогим методам, которые либо не могут быть представлены в виде неравенств, либо демонстрируют, что показатель эффективности оценщика ниже единицы. Рассмотрены несколько новых, недорогих в вычислительном отношении методов оценки как точечной ошибки, так и оценки нормы ошибки. Они ненавязчивы, реализованы путем постобработки и обеспечивают успешный компромисс между надежностью и вычислительными усилиями. Методы, основанные на использовании ансамбля независимых решений, могут быть реализованы путем построения обобщенного вычислительного эксперимента, что резко увеличивает скорость и эффективность оценки.
ошибка аппроксимации, уравнения в частных производных, апостериорная оценка погрешности, экстраполяция Ричардсона, правило Рунге, нестрогие оценки
1. Guide for the Verification and Validation of Computational Fluid Dynamics Simulations, American Institute of Aeronautics and Astronautics, AIAA-G-077-1998, Reston, VA, 1998.
2. Standard for Verification and Validation in Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer, ASME V&V 20-2009, 2009
3. Yu.I Shokin, Method of differential approximation. Springer-Verlag, (1983).
4. A.K. Alekseev, I.M. Navon, A Posteriori Error Estimation by Postprocessor Independent of Flowfield Calculation Method, Computers & Mathematics with Applications, v. 51, (2006) 397-404.
5. Repin, S.I.: A posteriori estimates for partial differential equations. Vol. 4. Walter de Gruyter (2008).
6. W. Prager and J. L. Synge. Approximation in elasticity based on the concept of function spaces, Quart. Appl. Math. 5 (1947) 241-269
7. I. Babuska and W. Rheinboldt. A posteriori error estimates for the finite element method. Int. J. Numer. Methods Eng. 12: 1597-1615
8. M Ainsworth. and J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis. Wiley - Interscience, NY. (2000).
9. T. Linss and N. Kopteva, A Posteriori Error Estimation for a Defect-Correction Method Applied to Convection-Diffusion Problems, Int. J. of Numerical Analysis and Modeling, V. 1, N. 1, (2009) 1-16.
10. J. W. Banks, J. A. F. Hittinger, C. S. Woodward, Numerical error estimation for nonlinear hyperbolic PDEs via nonlinear error transport, CMAME, 213 (2012) 1-15.
11. Christopher J. Roy, and Anil Raju, Estimation of Discretization Errors Using the Method of Nearby Problems, AIAA JOURNAL, Vol. 45, No. 6, June 2007 p 1232-1243
12. J. W. Banks, T. D. Aslam, Richardson Extrapolation for Linearly Degenerate Discontinuities, Journal of Scientific Computing, May 24, 2012 P. 1-15
13. Ch. J. Roy, Grid Convergence Error Analysis for Mixed -Order Numerical Schemes, AIAA Journal, V. 41, N. 4, (2003) 595-604.
14. Alexeev, A.K., Bondarev, A.E.: On Some Features of Richardson Extrapolation for Compressible Inviscid Flows. Mathematica Montisnigri XL, 42-54 (2017).
15. Alekseev A.K., Bondarev A. E., Kuvshinnikov A. E., A posteriori error estimation via differences of numerical solutions, ICCS 2020.
16. Alekseev, A.K., Bondarev, A.E., Navon, I.M.: On Triangle Inequality Based Approximation Error Estimation. arXiv:1708.04604 [physics.comp-ph], August 16, 2017.
17. Alekseev A.K., Bondarev A. E., Kuvshinnikov A. E.: Verification on the Ensemble of Independent Numerical Solutions, In: Rodrigues J. et al. (eds) Computational Science - ICCS 2019. ICCS 2019. Lecture Notes in Computer Science, Springer, Cham, 11540, 315-324 (2019).
18. Alekseev A.K., Bondarev A. E., Kuvshinnikov A. E., On uncertainty quantification via the ensemble of independent numerical solutions // Journal of Computational Science 42 (2020) 101114, DOI:https://doi.org/10.1016/j.jocs.2020.101114
19. A. K. Alexeev, A. E. Bondarev, The features of the of truncation and approximation errors’ geometry on the ensemble of numerical solutions, KIAM Preprint, Moscow (2019) № 107 (in Russian), DOI:https://doi.org/10.20948/prepr-2019-107
20. Tikhonov, A.N., Arsenin, V.Y.: Solutions of Ill-Posed Problems. Winston and Sons, Washington DC (1977).
21. Alifanov, O.M., Artyukhin, E.A., Rumyantsev S.V.: Extreme Methods for Solving Ill-Posed Problems with Applications to Inverse Heat Transfer Problems. Begell House (1995).
